Квантово-механическая частица в одномерном потенциальном "ящике"

Потенциальным “ящиком” называют потенциальную яму с вертикальными стенками (рис. 7). Область пространства с координатами от x1 до x2 на рис. 7 и есть потенциальный “ящик”. В реальной действительности такая ситуация наблюдается, например, для электронов в металле: внутри металла они свободны, но чтобы покинуть металл, электроны должны совершить работу выхода Авых, равную

Рассмотрим простейший пример решения уравнения Шрёдингера для частицы, находящейся в потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками (т.е. на границах ящика Ep ® ¥ , рис.8). Это, безусловно, идеализация. В действительности стенки ящика будут всегда конечной высоты. Однако на данной модели наиболее просто показать, что дает решение уравнения Шрёдингера. Итак, рассмотрим одномерный потенциальный ящик с бесконечно высокими стенками (рис.8). Ширина ящика l. Внутри ящика Еp = 0, т.е. частица свободна. Уравнение Шрёдингера для этого случая примет вид:

Граничные условия: 1) при x = 0 y (0) = 0, 2) при x = l y (l) = 0. | (25) (26)

Смысл этих условий прост: частица не может находиться на стенках ящика, так как значение Еp = ¥ не имеет физического смысла.

Условие нормировки:

| (27)

Смысл его: частица достоверно находится внутри ящика, т.е. в области координат 0 < x < l.

Уравнения (25) – (27) полностью описывают поставленную задачу.

Решим уравнение (25). Обратите внимание, что по форме оно полностью совпадает с дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Следовательно, и решения этих уравнений будут одинаковы:

| (28)

Математически задача решена, но физического содержания решение еще не получило. Необходимо, во-первых, определить две произвольные постоянные А и a0. Значение a0 находим сразу из первого граничного условия: y (0) = 0, откуда a0 = 0. Величину А найдем из условия нормировки, но сделаем это позднее. Осталось неиспользованным второе граничное условие y (l) = 0. Это возможно, если аргумент у синуса кратен p :

| (29)

где n = 1, 2, 3 , …¥ . Значение n = 0 лишено физического смысла, так как слева в уравнении (29) ни одна величина не равна нулю. Таким образом, мы пришли к выводу: решение уравнения Шрёдингера имеет физический смысл не при любых значениях энергии, а только при таких, когда выполняется условие (29), т.е. при

| (30)

где n = 1, 2, 3, … ¥ . Подставив в уравнение (28) a0 = 0 и получим

| (31)

Из условия нормировки пси-функции найдем значение А:

откуда Окончательно имеем набор пси-функций, зависящих от параметра n:

| (32)

Вид первых четырех пси-функций представлен на рис. 9.

Величина n характеризует значение энергии частицы и называется квантовым числом, так как энергия принимает дискретные значения, или, как говорят, квантуется.

На рис.10 показано распределение вероятности нахождения частицы в той или иной области ящика при различных значениях квантового числа n.

Подведем итог. Что мы получили в результате решения уравнения Шрёдингера? Во-первых, набор пси-функций, зависящих от квантового числа n. Во-вторых, значения энергии Е, при которых решение уравнения Шрёдингера имеет физический смысл. В-третьих, распределение вероятности обнаружения частицы в различных точках оси x внутри ящика. Подобные же результаты получаются при решении уравнения Шрёдингера и в других случаях, например, для атома водорода.

Остановимся подробнее на условии (30):

Оно означает, что энергия частицы внутри ящика с бесконечно высокими стенками может принимать не любые значения, а только дискретный ряд значений, пропорциональных квадрату числа n. Иными словами, энергия частицы квантуется. На рис. 11 показаны разрешенные уровни значений энергии Е. Отметим, что Найдем относительное изменение энергии при переходе с одного уровня на соседний:

| (33)

Очевидно, что при n ® ¥ т.е. энергия изменяется непрерывно. Это соответствует переходу к классической физике. Кстати, при n ® ¥ число максимумов на рис. 10 будет очень велико, они будут располагаться столь тесно, что вероятность будет практически постоянна вдоль оси x, как это и считается в классической физике.

Отметим, что условие квантования мы получили из граничного условия y (l) = 0. Если l ® ¥ , т.е. область движения частицы неограничена, то изменение энергии D Е ® 0 (см. уравнение (33)), т.е. энергия изменяется непрерывно, никакого квантования нет. Это еще раз говорит о том, что в макромире квантово-механические эффекты не проявляются, они наблюдаются только в микромире.

Условие квантования энергии имеет простой смысл: на длине ящика должно уложиться целое число длин волн де Бройля. Действительно,

откуда (см. рис.9). Любые другие состояния невозможны.