Лекция 1.
- §1. Комплексные числа и последовательности комплексных чисел.
- 1. Понятие комплексного числа.
Геометрическая интерпретация.
- 2. Последовательности комплексных
чисел. Понятие предела последовательности комплексных чисел. Необходимое и
достаточное условие сходимости последовательности комплексных чисел.
Критерий Коши. Понятие z
- бесконечно удаленной точки.
- §2. Понятие функции комплексной переменной.
- 1. Множество задания функции
комплексной переменной- понятие области комплексной переменной.
- 2. Множество значений функции
комплексной переменной. Отображение g-D.
- 3. Однолистность функции комплексной
переменной.
- 4. Задание f(z)=u(x,y)+iv(x,y)-
одновременное задание двух функций действительной переменной в области
g.
- §3. Непрерывность функции комплексной переменной.
- 1. Понятие предела функции комплексной
переменной (по Гейне и по Коши).
- 2. Непрерывность функции комплексной
переменной в точке, в области и на кривой.
Лекция 2.
- 3. Равномерная непрерывность в
ограниченной замкнутой области (Теорема).
- §4. Дифференцирование функции комплексной переменной. Понятие
аналитической функции комплексной переменной.
- 1. Теорема 1) Условия
Коши-Римана.
Теорема 2) Достаточные условия дифференцируемости f(z) в
точке z0Оg
- 2. Определение f(z) аналитической в
области g.
Теорема 3) Необходимое и достаточное условие аналитичности
f(z) в g.
Замечание о возможности опустить условие f'(z)О C(g).
- 3. Свойства аналитической функции
комплексной переменной.
Лекция 3.
- §5. Интеграл от функции комплексной переменной по кривой на
комплексной плоскости.
- 1. Вспомогательные положения.
Кусочно-гладкая кривая. Криволинейные интегралы II рода.
- 2. Определение интеграла от функции
комплексной переменной.
- 3. Свойства
f(z)dz.
- §6. Теорема Коши.
- 1. Вспомогательные положения.
Квадрируемая область. Формула Грина.
- 2. Теорема Коши. Случай многосвязной
области.
- 3. Неопределенный интеграл функции
комплексной переменной. Свойства неопределенного интеграла функции
комплексной переменной. Формула Коши-Адамара.
Лекция 4.
- §7. Интеграл Коши.
- 1. Интегральная формула Коши.
- 2. Следствия: а) Формула среднего
значения, б) Принцип максимума модуля.
- §8. Интеграл типа Коши.
- 1. Определение. F(z) - аналитическая
функция комплексной переменной на всей комплексной плоскости кроме кривой
C.
- 2. Существование производных всех
порядков в области аналитичности функции комплексной переменной.
- 3. Теоремы Морера и
Лиувилля.
Лекция 5.
- §9. Интегралы, зависящие от параметра.
- 1. Понятие интеграла, зависящего от
параметра. Достаточные условия существования.
- 2. Основная теорема
F(z)ОC
(g).
- §10. Ряды аналитических функций.
- 1. Числовые ряды.
- 2. Понятие функционального
ряда.
- 3. Равномерная сходимость еun(z) в области g.
- 4. Свойства равномерно сходящихся
рядов. Непрерывность суммы. Возможность почленного интегрирования.
Теорема Вейерштрасса. II теорема Вейерштрасса.
Лекция 6.
- §11. Степенные ряды.
- 1. Теорема Абеля. Следствия теоремы
Абеля.
- 2. Теорема Тейлора.
- §12. Единственность определения аналитической функции.
- 1. Понятие правильной и особой точки
функции.
- 2. Нули аналитической функции. Теорема
о нулях аналитической функции.
- 3. Теорема
единственности.
Лекция 7.
- §13. Понятие аналитического продолжения.
- 1. Аналитическое продолжение через
общую подобласть двух областей.
- 2. Теорема. На границе круга
сходимости степенного ряда найдется хотя бы одна особая точка аналитической
функции комплексной переменной - суммы ряда
- 3. Аналитическое продолжение через
общий участок границы двух областей.
- §14. Аналитическое продолжение с действительной
оси.
- 1. Элементарные функции комплексной
переменной - аналитическое продолжение с действительной оси элементарных
функций действительной переменной.
Лекция 8.
- 2. Аналитическое продолжение
соотношений.
- 3. Понятие Римановой поверхности как
области задания обратной многозначной функции для многолистной функции на
примере функций w = f(z) = ez и z = Ln(w).
- 4. Понятие точки ветвления.
Лекция 9.
- §15. Ряд Лорана.
- 1. Кольцо сходимости ряда
Лорана.
- 2. Теорема о разложении функции
комплексной переменной, аналитической в круговом кольце в ряд
Лорана.
- §16. Изолированные особые точки однозначной аналитической
функции.
- 1. Устранимые особые точки.
Полюс.
- 2. Существенно особая точка. Теорема
Сохоцкого-Вейерштрасса.
- §17. Понятие вычета аналитической функции в изолированной особой
точке.
- 1. Основная теорема теории
вычетов.
- 2. Формулы вычисления
Выч[f(z),z0] в полюсе.
- 3. Вычет f(z) в z

Лекция 10.
- §18. Вычисление несобственных интегралов I-го рода от функции
действительной переменной с помощью вычетов.
- 1. Лемма 1. Теорема 1. Примеры.
- 2. Лемма 2 (Жордана). Теорема 2.
Примеры.
- §19. Логарифмический вычет.
- 1. Определение. Формула подсчета числа
нулей и полюсов
f(z)О C
(
\z1,┘zN), f(z)ч
g
0.
- 2. Теорема Руше и основная теорема
высшей алгебры.
Лекция 11.
- §20. Конформные отображения.
- 1. Геометрический смысл f '
(z0)
0.
Свойства постоянства растяжений и сохранения углов. Конформные отображения в
точке.
- 2. Основное определение конформного
отображения g<=> D. Необходимое и достаточное условие конформности
отображения области g на область D.
Теорема. Если f(z)-
однолистна и аналитична в g, то f ' (z0)
0, " zО g.
- 3. Основные принципы конформных
отображений.
- 1. Принцип соответствия границ.
- 2. Теорема Римана. Формулировка,
замечания. Условия единственности конформного отображения односвязной
области g, граница которой состоит более чем из одной точки на единичный
круг.
- 4. Основные функции, используемые при
конформных отображениях.
- 1. Дробно-линейная функция
- 2. Функция Жуковского.
Лекция.12
- 5. Связь аналитической функции
комплексной переменной и гармонической функции двух действительных
переменных.
- 6. Сохранение оператора Лапласа при
конформном отображении.
- 7. Применение конформных отображений в
задачах электростатики. Задача Робэна - распределение заряда на проводящем
контуре.
- §21. Основные понятия операционного
исчисления.
- 1. Понятие одностороннего
преобразования Лапласа.
Основная теорема F(p)О
C
(Re(p) >a).
- 2. Свойства F(p) и изображения
простейших функций.
Лекция 13.
- 3. Решение задачи Коши для линейного
обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
операционным методом. Использование формулы для преобразования свертки
функций действительной переменной.
- 4. Теорема Меллина.
- 5. Изображение произведения.
Лекция 14.
- §22. Метод перевала.
- ЛИТЕРАТУРА