Лекция 12.

§21. Основные понятия операционного исчисления.

1. Понятие одностороннего преобразования Лапласа.
Основная теорема F(p)О C (Re(p) >a).
2. Свойства F(p) и изображения простейших функций.

Лекция 13.

3. Решение задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами операционным методом. Использование формулы для преобразования свертки функций действительной переменной.
4. Теорема Меллина.
5. Изображение произведения.



Основные понятия операционного исчисления.

Операционное исчисление - это аппарат интегральных преобразований, позволяющий заменить операции дифференцирования и интегрирования функции действительной переменной (известной или неизвестной, заданной или искомой) на алгебраические операции с параметрами интегральных преобразований.

Понятие одностороннего преобразования Лапласа.
Класс рассматриваемых функций действительной переменной. f(t), -
<t<
1)    f(t)0, t<0
2)    f(t)- кусочно- непрерывна при t>0, т.е. для " конечного [a,b]  f(t) имеет лишь конечное число разрывов I рода.
$ M>0, a'>0 : |f(t)|<Mea't, t (f(t)-функция ограниченной степени роста).
inf a'=a- показатель степени роста.

Класс А(а)- класс функций ограниченной степени роста.
Замечания
1.    Для f(t)=t
nА(0), a=0, т.к. tn<Mea't для " a'>0.
2.    f(t)=exp(2t2)А(а) для " a.
Определение. Односторонним преобразованием Лапласа функции f(t) класса А(а) называется функция комплексной переменной F(p), определяемая соотношением 
F(p)=e-ptf(t)dt;
Если $ F(p), то f(t)F(p); f(t)-оригинал, F(p)-изображение.
Для каких p $ F(p) ?
Теорема 21.1 Если f(t)A(a), то F(p) $ при Re p>a и в области Re px0>a интеграл сходится равномерно по р.
Доказательство. Возьмем для
" x>a; Re p=x>a'>a. Очевидно, |f(t)|<Mea't. Рассмотрим |e-ptf(t)dt|<Me-xtea'tdt=M/(x-a') => при Re p=x>a' $ F(p). Существование доказано. Для доказательства равномерной сходимости интеграла по параметру р в области 
Re p
x0>a можно воспользоваться достаточным мажорантным признаком Вейерштрасса. Т.к. |f(t)|<Mea't, x0>a'>a, то |e-ptf(t)|<Me-(x0-a')t всюду в области Re px0>a, причем мажоранта не зависит от р. n
Замечание. Вспомогательный параметр a' нам потребовался для доказательства, чтобы включить в рассмотрение функции класса А(0).
Каковы аналитические свойства F(p)?
Теорема 21.2.
В области Rep>a (f(t)A(a)) F(p)C(Re p>a).
Доказательствоe-ptf(t)dt=un(p); un(p) - целые функцииun(p).=>F(p), 
Re px0>a; по теореме Вейерштрасса => F(p)C(Re p>a). n
Замечание. Т.к. u(k)n(p).=>F(k)(p)   Re px0>a, то F(k)(p)=(-1)ke-ptf(t)tkdt !

Свойства изображений.

1.    f(t)=s (t)={0, t<0; 1, t>0; s (t)- функция Хевисайда. s (t) А(0) =>
=>F(p)
C(Re p>0); F(p)=e-ptdt=1/p; s (t) 1/p, Re p>0.
2.    f(t)=tn ; n >-1; tn А(0); F(p)C(Re p>0); F(p)=tn e-ptdt; F(x>0)=tn e-xtdt= 
= {xt=s}=(1/xn +1)sn e-sds=G (n +1)/xn +1; F(p)- аналитическое продолжение F(x) в правую полуплоскость Re p>0; =>F(p)=G (n +1)/pn +1; Если n -дробное, то берется та ветвь корня, которая является непосредственным аналитическим продолжением 
x
n +1, x>0. Частный случай n =0; f(t)=s (t)1/p, Re p>0. При n =n : tnn!/pn+1
3.    f(t)=ea t; Re p> Re a ; F(p)=ea t e-ptdt=1/(p-a ); Re p> Re a ; Линейность изображений.
Примеры  1) Полином.
2) sin w t=(1/2i)(eiw t-e-iw t)(1/2i)[1/(p-iw )-1/(p+iw )]= w /(p2+w2);
5.    Теорема запаздывания.
f(t)A(a); f(t)F(p); ft (t)={0, t<t ; f(t-t ) t>t ;ft (t)A(a); ft (t)e-ptf(t-t )dt=
={t-t =t'}=e-pte-pt'f(t')dt'=e-ptF(p).
Пример. Изображение прямоугольного импульса.
f(t)={0, t<t1 ; 1, t2<t<t1; 0, t>t2;} F(p)=(1/p)( e-pt 1- e-pt 2);
Пилообразный импульс- самостоятельно.
6.    Изображение производной. Пусть f(t)C[0;] и имеет конечную производную f'(t), причем и f(t) и f'(t)A(a). Пусть f(t)F(p). Найдем f'(t)?.
f'(t)e-ptf'(t)dt=(по частям)=-f(0)+pe-ptf(t)dt=(Rep>a)=pF(p)-f(0)=p[F(p)-f(0)/p];
Аналогично, если f(t)C(n-1)[0;] и f(n)(t)- кусочно- непрерывна, и f(k)(t)A(a), k=0,1...n; то f(n)(t)pn[F(p)-f(0)/p-f'(0)/p2-...-f(n-1)(0)/pn];
7.    Изображение интеграла.
f(t)A(a); j (t)=f(t )dt О A(a); j (t)e-ptf(t )dt dt=(Rep>a)=e-pt f(t ) dtdt= =(1/p)e-ptf(t )dt =(1/p)F(p);
Можно обобщить на случай n- кратного интеграла (1/pn)F(p)
8.    Изображение свертки.
f1(t)A(a1), f2(t)A(a2), j (t)=f1(t )f2(t-t )dt =f1(t-t )f2(t )dtA(a), a=max(a1,a2);
j (t)e-ptf1(t )f2(t-t )dt dt=(Rep>a)=f1(t )e-ptf2(t-t )dt dt=(t-t =t') =
=f1(t )e-pte-pt'f2(t')dt dt'=F1(p)F2(p).
Решение задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами операционным методом.

{a0y(n)(t)+...+any(t)=f(t), t>0; y(0)=...=y(n-1)(0)=0; f(t)F(p); y(t)Y(p); =>

=> Pn(p)Y(p)=F(p) => Y(p)=F(p)/Pn(p). Надо найти оригинал по изображению. В нашем случае можно поступить проще.
Рассмотрим следующую задачу:
{a0g(n)(t)+...+ang(t)=0, t>0; g(0)=...=g(n-2)(0)=0; g(n-1)(0)=1; g(t)G(p);
Допустим, мы знаем ее решение. g(k)(t)pkG(p), k=0,1,...n-1.; g(n)(t)pn[G(p)-g(n-1)(0)/pn]=pnG(p)-1; => Pn(p)G(p)= a0 => G(p)= a0/Pn(p); Y(p)=F(p)/Pn(p)= (1/a0) G(p) F(p); => y(t)(1/a0)G(p)F(p)=>y(t)=(1/a0)g(t-t )f(t )dt - Интеграл Дюгамеля.

Теорема Меллина.

Пусть F(p)C (Re p>a) и
1)    |F(p)|=>0 при |p| , Re p>a относительно аргумента.
2) " x>a: |F(p)|dy<M (равномерно ограничен по x).
Тогда $ f(t)A(a): f(t)F(p) и f(t)=(1/2p i)eptF(p)dp, для " x>a.
Замечание. Несобственный интеграл (1/2p i)eptF(p)dp вычисляется вдоль прямой
Re p=x>a и понимается в смысле главного значения: eptF(p)dp=eptF(p)dp.
Доказательство.   Рассмотрим I(x,t)=(1/2p i)eptF(p)dp  (p=x+iy) и докажем:
1.    I(x,t) $ для " x>a;
|I(x,t)| (1/2p )ext|F(p)|dyM' ext=>I(x,t) $ для " x>a;
Замечание: на "[0,T] интеграл сходится равномерно по t.
2.    Доказательство. Т.к. F(p)C(Re p>a), то по теореме Коши eptF(p)dp=0; Устремим 
А, тогда по условию 1. теоремы (|F(p)|=>0 при |p| , Re p>a) интегралы по горизонтальным отрезкам дадут в пределе 0. 
Интегралы по вертикальным прямым перейдут в в несобственные интегралы => =>eptF(p)dp=eptF(p)dp, что в силу произвольности x1 и x2 доказывает утверждение.
3.   Докажем, что I(x,t)0, t<0.
Рассмотрим I(x,t) при t<0. По теореме Коши
eptF(p)dp=0. В силу замечания 2. к Лемме Жордана при R интеграл по дуге С'R 0 при t<0. Поэтому f(t)=(1/2p i)eptF(p)dp 0, при t<0, Re p>a и " x>a.
Итак, $ f(t)=(1/2p i)eptF(p)dp, для " x>a.
Из оценки интеграла => |f(t)|<Mext, и inf(x)=a =>f(t)A(a).
4.    Покажем, что f(t)F(p).
f(t)e-pt(1/2p i)eqtF(q)dqdt={a<Req=x<Rep}= (1/2p i)F(q)e-(p-q)tdqdt= =(1/2p i)F(q)/(p-q)dq=(интеграл можно вычислить с помощью вычетов, учитывая, что контур обходится по часовой стрелке)=-Выч[F(q)/(p-q),q=p]=F(p)n
Замечание. Если $ аналитическое продолжение F(p) в левую полуплоскость, имеющее конечное число N изолированных особых точек pn и удовлетворяющее условиям Леммы Жордана , то f(t)=Выч[eptF(p),pn], t0.
В частности, если F(p)=1/Pn(p), где все нули полинома Pn(p) лежат в левой полуплоскости Re p <a, то вычисление f(t) не представляет трудностей.
Пример.  Решить задачу Коши:  y"+w02y=f(t); y(0)=y'(0)=0;
Y(p)=F(p)/(p2+w 02); и трудности могут возникнуть при достаточно сложной F(p).
Но мы знаем, что y(t)=(1/a0)g(t-t )f(t )dt . А т.к. G(p)= a0/Pn(p), и  a0=1, и Pn(p)=p2+w02 , то G(p)=1/(p2+w02). =>  g(t)=(1/2p i)ept/(p2+w02)dp=
=Выч[ept/(p2+w02), iw 0]+ Выч[ept/(p2+w 02),-iw0]= eiw 0t/(2iw0)-e-iw 0t/(2iw0)=sin(w0t)/w0=> y(t)=(1/w0)sin(w0(t-t ))f(t )dt и в частности при f(t)= sin(w 0t): y(t)=
=(1/w0)sinw0(t-t )sin(w0t )dt =(1/2w 02)[sin(w0t)-tw0cos(w0t)]- осциллирующая функция с линейно нарастающей амплитудой- резонанс.
Изображение произведения.

Пусть f1(t)A(a1): f1(t)F1(p)C(Re p>a1); f2(t)A(a2): f2(t)F2(p)C(Re p>a2).
f(t)=f1(t)f2(t)A(a1+a2); -удовлетворяет всем условиям существования изображения.

f(t)F(p)=e-ptf1(t)f2(t)dt={f1(t)=(1/2p i)eptF1(p)dp, для " x>a1}=
=(1/2p i)e-ptf2(t)eqtF1(q)dqdt=(1/2p i)F1(q)e-(p-q)tf2(t)dtdq=
=(1/2p i)F1(q)F2(p-q)dq; (a1<x=Re q<Re p- a2)=(1/2p i)F1(p-q)F2(q)dq;
(a2<x=Re q<Re p- a1) ; F(p)C(Re p>a1+a2)
Пример. f1(t)=t1/p2; f2(t)=sinw tw /(p2+w 2);
f(t)=f1(t)f2(t)=tsinw t(w /2p i)dq/[(p-q)2(q2+w2)] ; 0<x=Re q<Re p={при помощи вычетов, с учетом того, что контур интегрирования замыкается вправо и обходится по часовой стрелке- в отрицательном направлении}= -w Выч[1/[(p-q)2(q2+w2)],q=p]
{q=p- полюс 2-го порядка =-w d/dq[1/(q2+w2),q=p] =2w p/(p2+w2);
Замечание. Можно считать контур интегрирования замкнутым налево и суммировать вычеты в  iw ;

Назад       Вверх       Вперед