a) Для " n>0 c-n=0; Q(z)=0; f(z)c0 при z
z0- устранимая особая точка. z0 -
правильная точка f(z). Если функция не определена в точке z 0 , то ее
можно доопределить по непрерывности, положив f(z 0)=c0 . В
окрестности устранимой особой точки 0<|z-z 0|< r (z0) : | f(z)|<M и f(z)=(z-z
0)m j (z), m
0- целое, j
(z0)
0; и
если
f(z)=0, то z 0
- нуль m- того порядка.
Теорема 16.1 Если f(z) C
(0<|z-z0|< r (z0 )) и
|f(z)|<M при 0<|z-с|< r (z0
), то z 0 - устранимая особая точка.
Доказательство. Разложим f(z) в ряд Лорана и
рассмотрим выражение для коэффициентов главной части. c
-n= , n>0. В качестве контура интегрирования выберем круг
с центром в точке z 0 и радиуса
r : | x
-z0|= r . Тогда , сделав замену x
-z0= r ei j
, d x =i r
ei j d j
и учтя, что |e in j |=1, получим оценку: |c
-n|< r M r
n-1
0
при r
0.
Т.к. значения c -n не зависят от
r , то c
-n=0. n
b) Ряд Лорана функции f(z) в
окрестности ее изолированной особой точки содержит конечное число членов с
отрицательными степенями; Q(z)= ;
c-m
0.
f(z) при
z
z0- п олюс порядка
m, f(z)=
; y (z0)
0
Теорема 16.2
Если f(z)C
(0<|z-z0|< r (z0)), z0 - изолированная особая точка f(z) и |f(z)|=>
при z
z0 (независимо от способа
стремления z к z 0 ), то z
0 - полюс f(z).
Доказательство.
|f(z)|=> при
z
z0 => для " A>0
$e : 0<|z-z0|< e
, |f(z)|>A; Рассмотрим g(z)=1/f(z);
g(z)
C
(0<|z-z0|< e ); |g(z)|<1/A=M => z0 - устранимая особая
точка g(z) (по Теореме 16.1) ; =>
g(z)=(z-z0)m j (z), m
0 ,
j (z0)
0 => f(z)=
; y
(z0)
0 n
2. Существенно особая точка.
Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса.
c) Точка z 0 называется существенно особой точкой функции f(z),
если ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки z
0 содержит бесконечно много
членов с отрицательными степенями разности (z-z 0 ). (Бесконечное число коэффициентов c-n 0).
Поведение аналитической функции в окрестности существенно особой точки
описывается следующей теоремой.
Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса Для " комплексного числа
B и "e
>0, в "h
- окрестности существенно особой точки z
0 0<|z-z0|< h $
z1: |f(z1)-B|< e
.
Доказательство . (От
противного) Пусть $ такие e
0 и h
0: для " z 0<|z-z0|< h
0; |f(z)-B|> e 0. Рассмотрим g(z)=1/[f(z)-B]=>
|g(z)|=1/|f(z)-B|<1/ e 0=M. =>
z0 - устранимая особая точка g(z) (по Теореме
16.1); => g(z)=(z-z0)m j
(z), m0 ,
j (z0)
0 => f(z)=B+
; y
(z0)
0 =>
z0- полюс f(z) m
0, или правильная точка
при m=0. Получили противоречие. n
Замечание 1.
{ h n}0 =>{z(n)1}
z0. {f(z(n)1)}
B=> в
окрестности существенно особой точки можно выбрать
{z(n)1}
z0 такую, что
{f(z(n)1)} сходится к
" наперед
заданному числу.
Пример .
f(z)=e1/z точка z=0 - существенно
особая.
Классификация изолированных особых точек на языке пределов.
Пусть z0 - изолированная особая точка
f(z)C
(0<|z-z0|< r (z0)).
a) Если при z из окрестности 0<|z-z0|< r (z0) и при
zz0
f(z)
c0
|c0|<
, то z 0 - устранимая особая точка f(z).
b) Если при z из окрестности 0<|z-z0|< r (z0) и при
zz0 f(z)
, то z 0 - полюс f(z).
c) Если при z из окрестности 0<|z-z0|< r (z0) и при
zz0 f(z) не имеет конечного или бесконечного предела, то z
0 - существенно особая
точка f(z).
Определение . z является изолированной особой точкой однозначной
аналитической функции, если $ R>0 : для " z : |z|>R
f(z) не имеет особых точек, находящихся на конечном
расстоянии от точки z=0.
Ряд Лорана в
окрестности z : f(z)=
cnzn, R<|z|<
.
a) z называется устранимой особой точкой f(z),
если все cn =0 при n>0
f(z)=
cnzn , или $ конечный предел f(z) при z
.
b) z называется
полюсом f(z) если ряд Лорана функции f(z) в окрестности
z
содержит конечное число членов с
положительными степенями f(z)=
cnzn, (m>0)
или f(z)
при
z
.
c) Точка z называется существенно особой точкой
функции f(z), если ряд Лорана функции f(z) в окрестности z
содержит бесконечно много членов с положительными
степенями z: f(z)=
cnzn , или при z
у f(z) н ет конечного или
бесконечного предела.
Назад | Вверх | Вперед |