Лекция 11.

§20. Конформные отображения.

1. Геометрический смысл f ' (z0) 0. Свойства постоянства растяжений и сохранения углов. Конформные отображения в точке.
2. Основное определение конформного отображения g<=> D. Необходимое и достаточное условие конформности отображения области g на область D.
Теорема. Если f(z)- однолистна и аналитична в g, то f ' (z0) 0, " zО g.

3. Основные принципы конформных отображений.
1. Принцип соответствия границ.
2. Теорема Римана. Формулировка, замечания. Условия единственности конформного отображения односвязной области g, граница которой состоит более чем из одной точки на единичный круг.
4. Основные функции, используемые при конформных отображениях.
1. Дробно-линейная функция
2. Функция Жуковского.

Лекция 12.

5. Связь аналитической функции комплексной переменной и гармонической функции двух действительных переменных.
6. Сохранение оператора Лапласа при конформном отображении.
7. Применение конформных отображений в задачах электростатики. Задача Робэна - распределение заряда на проводящем контуре.



1. Геометрический смысл f ' (z0) 0. Свойства постоянства растяжений и сохранения углов. Конформные отображения в точке.

1. Геометрический смысл f ' (z0) 0. Свойства постоянства растяжений и сохранения углов. Конформные отображения в точкею.
п.1. Геометрический смысл f'(z0)0.
Пусть w=f(z)C(g) и f'(z0)0, z0g. => $ f'(z0)=D w/D z=keia , k>0,
a - определенное действительное число. Выберем такой способ стремления D z0, при котором точки z=z0+D zg1g,  z0 g1- некоторой гладкой кривой. Соответствующие им точки w=w0+D wG1G, w0G1- гладкой кривой. Комплексные числа D z и D w - вектора секущих к кривым g1 и G1. arg D z и arg D w - имеют геометрический смысл углов соответствующих векторов с положительными направлениями осей абсцисс на комплексных плоскостях z и w соответственно, а |D z| и |D w|- длиныэтих векторов. При D z0 вектора секущих переходят в вектора касательных к соответствующим кривым.
|D w|=k|D z|+o(|D z|2), k=|f'(z0)| не зависит от выбора g 1.
Геометрический смысл |f'(z0)|: При отображении w= f(z)C(g) и f'(z0)0, z0g бесконечно малые линейные элементы преобразуются подобным образом, причем |f'(z0)|- коэффициент преобразования подобия.-это свойство носит название
a) Свойство постоянства растяжения.

a =arg f'(z0)= argD w-argD z=F 1-j1.
Геометрический смысл arg f'(z0): Разность угла F 1 (угол между касательной к кривой G 1 и положительным направлением оси u на плоскости w) и угла j1 (угол между касательной к кривой g1 и положительным направлением оси x на плоскости z)
=> F1=j1+a . Другими словами, аргумент производной arg f'(z0) в точке z0 определяет величину угла, на который нужно повернуть касательную к " гладкой кривой g , проходящей через точку z0, чтобы получить касательную к образу этой кривой в точке w0=f(z0).
Т.к. a =arg f'(z0) не зависит от выбора g1, то для " g2 : z0g 2 : F 2=j2+a =>
=>F =F 2-F1=j2-j1=j (сохраняется величина и направление углов).
b) Свойство сохранения углов.
Определение Отображение окрестности точки z0 на окрестность точки w0, обладающее свойствами сохранения углов и постоянства растяжений называется конформным отображением в точке z0.
=> бесконечно малая окружность бесконечно малую окружность; бесконечно малый треугольник бесконечно малый треугольник.

2. Основное определение конформного отображения g<=> D. Необходимое и достаточное условие конформности отображения области g на область D.

Основное определение. Непрерывное взаимно однозначное отображение области g комплексной плоскости z на область D комплексной плоскости w, при котором в " zО g выполняются свойства сохранения углов и постоянства растяжений, называется конформным отображением g на D.
Обозначение: gD.
Очевидно, что при этом D конформно отображается на g.
Теорема 20.1Если f(z)C (g), однозначная и однолистная, и f'(z)0, " zg, то f(z) осуществляет конформное отображение gD.
Доказательство. Отображение, осуществляемое указанной f(z) обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений (как было показано выше). n
Теорема 20.2(обратная) Если f(z) осуществляет конформное отображение gD, то f(z)C(g), однолистна, и f'(z)0, " zg.
Доказательство. Т.к. gD, то f(z)- непрерывна, однозначна и однолистна.
Т.к. имеет место постоянство растяжений, то $|D w|/|D z|=k>0.
Т.к. имеет место сохранение углов, то $arg(D w/D z)=a -действительное =>
$D w/D z=keia0 n .
Замечание. Свойство f'(z)0, " zg является следствием однолистности.
Теорема 20.3.Необходимым и достаточным условием конформности отображения является f(z)C(g), однозначна и однолистна в g.
Доказательство. Необходимость доказана выше (Теорема 20.2).
Достаточность. См. "А.Г.Свешников, А.Н.Тихонов Теория функций комплексной переменной." М.: Наука-Физматлит 1999, с.156.

3. Основные принципы конформных отображений.

1. Принцип соответствия границ.

Принцип соответствия границ. Если f(z)C(), g-односвязна и f(x ) взаимно однозначно отображает  на замкнутый контур G =D плоскости w с сохранением обхода, то gD.
Доказательство. Надо доказать, что f(z) однолистна в g, т.е.
а) для " w1D $ ! z1g : w1=f(z1);
б) для " w2D не $ ни одной z2 g: f(z2)=w2.
Рассмотрим две произвольные точки w1D и w2D и построим в g вспомогательные функции F1(z)=f(z)-w1, F2(z)=f(z)-w2 ,zg. Подсчитаем число нулей этих функций (по принципу аргумента ):
N[F1(z)]=(1/2p )Var[arg(f-w1)]|=1, N[F2(z)]=(1/2p )Var[arg(f-w2)]|=0 (т.к. по условию теоремы положительному обходу  соответствует положительный обход D) . n
Замечание. Если f(z)C(\z0), z0- полюс первого порядка и G с изменением направления обхода, то f(z): gE\D.

2. Теорема Римана. Формулировка, замечания. Условия единственности конформного отображения односвязной области g, граница которой состоит более чем из одной точки на единичный круг.

Теорема Римана. Основной закон конформных отображений.
Заданы область g комплексной плоскости g и область D комплексной плоскости w. Требуется найти f(z)=w конформно отображающую g на D.
Теорема Римана. Если g- односвязная область комплексной плоскости w, граница которой состоит более чем из одной точки, то $! f(z)C(g): g|w|<1, так что f(z0)=0 и arg f'(z0)=a , z0g и a - заданные числа.
Полное доказательство приводить не будем. (см. например А.В.Бицадзе "Основы теории аналитических функций").
Ограничимся замечаниями.
1.    Пусть g комплексной плоскости z и G комплексной плоскости w удовлетворяют условиям теоремы Римана . Тогда
$x =f(z): g|x |<1; f(z0)=x 0 и $ w=j (x ): |x |<1D, j (x 0)= w0 => $ w=F(z)= j (f(z)); gD; F(z0)=w0 .
2.    Односвязность существенна!.
3.    Условия теоремы Римана можно заменить установлением соответствия 3-х точек  трем точкам D.


4. Основные функции, используемые при конформных отображениях.


a)    Степенная w=f(z)=zn, область однолистности 0<arg z<2p/n.
b)    w=f(z)=1/z область однолистности- вся комплексная плоскость. zw
c)    w=f(z)=ez область однолистности -p <Im z<p .
d) 

1. Дробно-линейная функция

Дробно-линейная функция.
w=f(z)=(az+b)/(cz+d)=l (z+a )/(z+b ) (3 параметра, a№b ).
z=l '(w+a ')/(w+b '); zw, f'(z)0 для " z.
1.    Геометрический смысл: f(z)=l [1+(a -b )/(z+b )] - повороты и растяжения, отражение от действительной оси, инверсия.
2.    Заданием соответствия 3-м точкам z1w1, z2 w2, z3w3, плоскости z трех точек плоскости w, дробно-линейная функция определена однозначно, т.е. коэффициенты l , a , b однозначно выражаются через 6 заданных комплексных чисел.
Доказательство. w1=l (z1+a )/(z1+b ); w2=l (z2+a )/(z2+b ); w3=l (z3+a )/(z3+b ); =>w1-w2=l (z2-z1)(a -b )/(z1+b )(z2+b ) ; w1-w3=l (z3-z1)(a -b )/(z1+b )(z3+b ) ; (w1-w2)/(w1-w3)=(z1-z2)(z3+b )/(z1-z3)(z2+b ); (w-w2)/(w-w3)=(z-z2)(z3+b )/(z-z3)(z2+b );
(w-w2)/(w-w3): (w1-w2)/(w1-w3)= (z-z2)/ (z-z3): (z1-z2)/ (z1-z3).
Разрешив это выражение получим w=f(z) - дробно-линейную функцию с однозначно определенными коэффициентами l , a , b . n
3.    Свойства дробно-линейной функции.
a)    Круговое: A(x2+y2)+Bx+Cy+D=0; z=x+iy=1/z =1/(x +ih )=x /(x2+h2)-ih /(x2+h2)=>
=>A+Bx -Ch +D(x2+h2)=0. Окружность на плоскости однозначно определяется заданием 3-х точек.=> Задав ziwi, i=1,2,3 с сохранением направления обхода однозначно определим дробно-линейную функцию, конформно отображающую gD.
Пример. |z|<1Imz>0. так, чтобы z=1w=0; z=iw=1; z=-1w= ;
Возьмем w=l (z-1)/(z+1); 1=l (i-1)/(i+1)=> l =(i+1)/(i-1)= (i+1)(1+i)/(i-1)(1+i)=-(1+i)2/2=
=-(1+2i-1)/2=-i; => w=i(1-z)/(1+z).
b)     Сохранение сопряженности точек.
Пример. Imz>0|w|<1; z0 w0=0; => w=l (z-z0)/(z- z0*);
e) 

2. Функция Жуковского.

Функция Жуковского.
w=f(z)=(1/2)(z+1/z)-однозначная аналитическая функция в кольце 0<|z|< ;
Два полюса 1-го порядка: z=0 и z= .
Области однолистности: z1z2 и z1+1/z1= z2+1/z2 =>(z1-z2)=(z1-z2)/z1z2 => z1z2=1 =>
Области однолистности |z|<1 и |z|>1.
f'(z)=(1/2)(1-1/z2); f'(z1,2)=0 => z1,2=1.
Геометрический смысл отображения.
|z|>1; z=r0eij ; w=(1/2)(r0eij+(1/r0)e-ij); w=u+iv=(1/2)(r0+1/r0)cosj +i(1/2)(r0-1/r0)sinj ;
u2/[(1/2)(r0+1/r0)]2+v2/[(1/2)(r0-1/r0)]2=1; a=(1/2)(r0+1/r0); b=(1/2)(r0-1/r0);
c2=a2-b2=1; => c=1;
Окружность r0eijсемейство софокусных эллипсов. При r01  a1, b0.
|z|>1w, с разрезом по отрезку [-1;1].
Луч z=reij; 1<r< ; j =j0 .
u=(1/2)(r+1/r)cosj ; v=(1/2)(r-1/r)sinj ; => u2/cos2j - v2/sin2j=1; - гипербола:
c2=a2+b2=1; => c=1; 0<j 0<p /2- правая ветвь гиперболы, p /2<j0<p - левая  ветвь гиперболы. Полярная система координат |z|>1 переходит в эллиптическую систему координат на плоскости w, с разрезом с сохранением направления обхода. На плоскости w с разрезом определена обратная функция , являющаяся аналитическим продолжением действительной функции , u>1.
Аналогично, область однолистности |z|<1на плоскость w с разрезом по

[-1;1] с изменением направления обхода.
На этой плоскости определена обратная функция , являющаяся аналитическим продолжением действительной функции , u>1.
Итак, функция Жуковского осуществляет конформное отображение полной плоскости z на двулистную Риманову поверхность w, склеенную из двух плоскостей w с разрезом по [-1;1]. Конформность отображения нарушается в точках z1,2=1, где f'(z1,2)=0; z1,2=1< w1,2=1. Обратная функция (обе ветви) имеет две точки ветвления w=+ 1- концы берегов разреза.

Примеры конформных отображений, осуществляемых некоторыми элементарными функциями.
 




5. Связь аналитической функции комплексной переменной и гармонической функции двух действительных переменных.


f(z)=u(x,y)+iv(x,y)C(g). =>ux=vy; uy=-vx;
=> D u=0; D v=0; -гармонические функции (x,y)g.
Обратно, пара гармонических в g функций u(x,y) и v(x,y), связанные условиями Коши- Римана, являются действительной и мнимой частью аналитической функции.


6. Сохранение оператора Лапласа при конформном отображении.


Пусть (x,y)g и f(z)=z : gD; z =x (x,y)+ih (x,y)C(g); (x ,h )D; f'(z)0.
D xyu=?
uxx=uxxxx2+2uxhxxh x+uh hhx2+uxxxx+uhhxx
uyy=uxxxy2+2uxhxyh y+uhh hy2+uxxyy+uhhyy
D xyu= uxx(xx2+xy2)+ 2uxh(xxh x+x yh y)+uh h(hx2+hy2)+ux(xxx+xyy)+uh (hxx+hyy)=
={x x=hy, xy=-hx,=> f'(z)=xx+ihx=xx-ixy=hy+ihx=>|f'(z)|2=xx2+xy2=hx2+hy2;
xxh x+x yh y=x xx+xyy =(h xx+hyy)=0}=|f'(z)|2Dxhu(x ,h )={z=j (z )}=[1/|j '(z )|2] Dxhu(x ,h )

7. Применение конформных отображений

в задачах электростатики.
{rot=0; div =4pr=-С u =>D u=-4pr .

Задача Робэна- распределение заряда на проводящей границе.
 
q=s (s)ds-дано; s (s)=(1/4p )En|C=-(1/4p ) u/ n|C; n-внешняя нормаль.
Задача Робэна: D u=0 вне С;. u|C=const; 
u/ n ds=-4p q - дано.   Найти s (s)=?
Задача просто решается, если С есть окружность |z |=1.
Тогда W (s)=q/2p =-(1/4p ) u0/ n0. => u0/ n0||z |=1=-2q.
Пусть известна функция z =f(z), которая конформно отображает С на плоскости z на окружность |z |=1 на плоскости z .
Тогда u/ n|C= u0/ n0||z |=1 n0/ n|C+ u0/¶t0||z |=1 ¶t 0/ n|C = (поскольку контур проводящий, то Et = u0/¶t 0=0) =-2q n0/ n|C;
Но при конформном отображении нормаль n к С переходит в нормаль n0 к |z |=1, а меняется лишь ее длина => n0/ n|C=|f'(z)|C=> u/ n|C=-2q |f'(z)|C .
=> s(s)= (q/2p) |f'(z)|C .
 

Пример. Двусторонний отрезок [-1;1] на плоскости z . z =f(z): C|z |=1- функция,
обратная к функции Жуковского
z =f(z)=;
 
 
f'(z)|zО [-1;1]=1+z/|zО [-1;1]=f(z)/ |zО [-1;1]
Но |f(z)|zО [-1;1]=|z |=1=>|f'(z)|zО [-1;1]=1/;-1<x<1;=>s(x)=q/[2p];-1<x<1;
Замечания. 1) s (x), x1- эффект острия; 2) 2s (x)dx=q (Двусторонний отрезок).

Назад       Вверх       Вперед