Лекция 9.

§16. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции.

1. Устранимые особые точки. Полюс.
2. Существенно особая точка. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса.


1. Устранимые особые точки. Полюс.

Определение. Точка z 0 называется изолированной особой точкой функции f(z), если f(z) однозначная и  C(0<|z-z0|< r (z0 )), а точка z 0 является особой точкой функции f(z).
Другими словами, точка z 0 называется изолированной особой точкой функции f(z), если $ такая окрестность точки z 0 , в которой нет других особых точек функции f(z).
В самой особой точке z 0 функция f(z) может быть не определена. Функцию f(z) в окрестности точки z 0 можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в кольце
0<|z-z0|< r (z0 ). Поведение функции f(z) в окрестности точки z 0 определяется главной частью ряда Лорана Q(z)= .
Важное замечание  В малой окрестности точки ветвления и неизолированной особой точки вообще нельзя раскладывать в ряд Лорана!
Возможны три случая:

a)    Для " n>0  c-n=0; Q(z)=0; f(z)c0 при z z0 устранимая особая точка. z0 - правильная точка f(z). Если функция не определена в точке z 0 , то ее можно доопределить по непрерывности, положив f(z 0)=c0 . В окрестности устранимой особой точки 0<|z-z 0|< r (z0) : | f(z)|<M и f(z)=(z-z 0)m j (z), m 0- целое, j (z0) 0; и если f(z)=0, то z 0 - нуль m- того порядка.
Теорема 16.1 Если f(z) C(0<|z-z0|< r (z0 )) и |f(z)|<M при 0<|z-с|< r (z0 ), то z 0 - устранимая особая точка.
Доказательство. Разложим f(z) в ряд Лорана и рассмотрим выражение для коэффициентов главной части. c -n= , n>0. В качестве контура интегрирования выберем круг с центром в точке z 0 и радиуса r : | x -z0|= r . Тогда , сделав замену x -z0= r ei j ,  d x =i r ei j d j и учтя, что |e in j |=1, получим оценку: |c -n|< r M r n-1 0 при r 0. Т.к. значения c -n не зависят от r , то c -n=0. n

b)    Ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки содержит конечное число членов с отрицательными степенями; Q(z)= ;  c-m0.
f(z) при z z0 п олюс порядка m, f(z)= ; y (z0)0
Теорема 16.2    Если f(z)C(0<|z-z0|< r (z0)), z0 - изолированная особая точка f(z) и |f(z)|=>при z z0 (независимо от способа стремления z к z 0 ), то z 0 - полюс f(z).
Доказательство. |f(z)|=> при z z0 => для " A>0 $e : 0<|z-z0|< e , |f(z)|>A; Рассмотрим g(z)=1/f(z); g(z) C(0<|z-z0|< e ); |g(z)|<1/A=M => z0 - устранимая особая точка g(z) (по Теореме 16.1) ; => g(z)=(z-z0)m j (z), m0 , j (z0) 0 => f(z)= ; y (z0)0 n
2. Существенно особая точка. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса.

c)    Точка z 0 называется существенно особой точкой функции f(z), если ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки z 0 содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями разности (z-z 0 ). (Бесконечное число коэффициентов c-n 0). Поведение аналитической функции в окрестности существенно особой точки описывается следующей теоремой.
Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса Для " комплексного числа B и "e >0, в "h - окрестности существенно особой точки z 0 0<|z-z0|< h  $ z1: |f(z1)-B|< e .
Доказательство . (От противного)  Пусть $ такие e 0 и h 0: для " z  0<|z-z0|< h 0; |f(z)-B|> e 0. Рассмотрим g(z)=1/[f(z)-B]=> |g(z)|=1/|f(z)-B|<1/ e 0=M. => z0 - устранимая особая точка g(z) (по Теореме 16.1); => g(z)=(z-z0)m j (z), m0 , j (z0) 0 => f(z)=B+ ; y (z0)0 => z0- полюс f(z) m0, или правильная точка при m=0. Получили противоречие. n
Замечание 1. { h n}0 =>{z(n)1}z0. {f(z(n)1)}B=> в окрестности существенно особой точки можно выбрать {z(n)1}z0 такую, что {f(z(n)1)} сходится к " наперед заданному числу.
Пример . f(z)=e1/z  точка z=0 - существенно особая.

Классификация изолированных особых точек на языке пределов.

Пусть z0 - изолированная особая точка f(z)C(0<|z-z0|< r (z0)).
a)    Если при z из окрестности 0<|z-z0|< r (z0) и при zz0   f(z)c0   |c0|<, то z 0 - устранимая особая точка f(z).
b)    Если при z из окрестности 0<|z-z0|< r (z0) и при zz0 f(z), то z 0 - полюс f(z).
c)    Если при z из окрестности 0<|z-z0|< r (z0) и при zz0 f(z) не имеет конечного или бесконечного предела, то z 0 - существенно особая точка f(z).

Определение . z является изолированной особой точкой однозначной аналитической функции, если $ R>0 : для " z : |z|>R f(z) не имеет особых точек, находящихся на конечном расстоянии от точки z=0.
Ряд Лорана в окрестности z : f(z)= cnzn, R<|z|<.
a)    z называется устранимой особой точкой f(z), если все cn =0 при n>0 f(z)=cnzn , или $ конечный предел f(z) при z .
b)    z называется полюсом f(z) если ряд Лорана функции f(z) в окрестности z   содержит конечное число членов с положительными степенями f(z)=cnzn, (m>0) или f(z) при z .
c)    Точка z называется существенно особой точкой функции f(z), если ряд Лорана функции f(z) в окрестности z содержит бесконечно много членов с положительными степенями z:  f(z)=cnzn , или при z у f(z) н ет конечного или бесконечного предела.


Назад       Вверх       Вперед