Лекция 14.
- §22. Метод перевала.
Метод вычисления асимптотических разложений интегралов по кривой на комплексной
плоскости аналитических функций комплексной переменной, зависящих от
действительного параметра.
F(l )=
elf(z)j(z)dz; l >>1.
Как Вы знаете
из курса анализа- асимптотическое разложение функции f(x) в окрестности
точки x0 имеет вид:
f(x)=
jk(x)+RN+1(x); jk+1(x)=o(jk(x)); RN+1(x)=o(jN(x)).
При
x0
достаточно
часто в качестве j
(x) выбираются обратные степени x:
f(x)=
сk/xk+RN+1(x);
RN+1(x)=o(1/xN) и часто
RN+1(x)=сN+1/xN+1.
Замечание. Асимптотический ряд, вообще говоря,
не сходится.
В курсе анализа был рассмотрен метод асимптотических
разложений
F(l )=
elf(t)j(t)dt; l>>1,
и для
достаточно гладких f(t) иj(t) при условии существования единственного
глобального максимума f(t) на [t1;t2] :
f(t0)>f(t), f'(t0)=0, f"(t0)<0
была
получена формула Лапласа: F(l )=
Обобщим этот результат на случай интегралов от
аналитических функций комплексной переменной.
F(l )=
elf(z)j(z)dz; l >>1, C
g, f(z), j(z)
C
(g).
Пусть
f(z)=u(x,y)+iv(x,y); |eil v(x,y)|=1; и эта часть экспоненты- только осциллирующая
подынтегральная функция. Очевидно, наибольший вклад в интеграл даст тот участок
кривой интегрирования, на котором u(x,y) достигает глобального максимума на
С.
Пусть z0- единственная точка глобального максимума u(x,y) на С:
u(x0,y0)>u(x,y)|C.
Как ведет себя
функция u(x,y) в окрестности этой точки ?
D
u=0, z
g',
и в силу принципа максимума гармонической функции,
max u|
g>u(x,y)|(x,y)
g'=> хотя
z0
С точка глобального максимума u(x,y) на С, но в
окрестности точки z0 в g'
найдутся точки не лежащие на С, в которых значения
u(x,y)>u(x0,y0)=> Через z0
С проходят другие
кривые (направления) на которых u(x,y) возрастает от значения
u(x0,y0). Точка
z0=x0+iy0 - седловая точка, или точка перевала
поверхности u(x,y). Отсюда и название метода.
Очевидно, наибольший вклад
в интеграл будет давать участок интегрирования в окрестности точки
z0, если на нем u(x,y) будет убывать с
наибольшей скоростью от значения u(x0,y0). В силу теоремы Коши
контур интегрирования С в окрестности
точки z0
С можно деформироовать как угодно, не меняя значения
интеграла.
В частности, участок контура
С, проходящий через z0 можно
направить по направлению наибыстрейшего спуска на поверхности u(x,y). Это
направление определяется направлением
u (grad u) в точке z0 . Но (
u,
v) =uxvx+uyvy=0
(в силу условий
Коши-Римана . => Направлением
наибыстрейшего спуска будет направление
v=0, т.е линия уровня
v(x,y)=v(x0,y0)=const.
Итак, Наибольший вклад в интеграл дает
интегрирование по участку С, проходящему через z0 и совпадающему с линией уровня
v(x,y)=v(x0,y0)=const.
Как ведет себя f(z) на этом участке?
f't(z)=ut(x,y)|C+ivt (x,y)|C, но
vt(x,y)|C=0 и ut(x0,y0)|C=0, т.к. z0- точка глобального максимума и на С=>
f'(z0)=0 (производная не зависит от
направления).
vtt |C=0
(т.к. v(x,y)=v(x0,y0)=const),
utt(z0)<0 =>
f''(z0)
0.
Найдем направление наибыстрейшего спуска.
f(z)=f(z0)+(1/2)f''(z0)(z-z0)2+O(|z-z0|3);
(1/2)f''(z0)=keiy,
z-z0=reiq,
u(x,y)=u(x0,y0)+kr2cos(y +2q )+O(r3);
v(x,y)=v(x0,y0)+kr2sin(y +2q )+O(r3);
При 0
q
2p cos(y
+2q ) 4 раза
обращается в 0 => окрестность точки
z0 разбивается на 4 сектора- два
положительных: cos(y+2q
)>0, и два отрицательных: cos(y +2q )<0.
Кривая С должна в точке z0 переходить из одного отрицательного сектора в
другой.
Направление наибыстрейшего
спуска определяется условием cos(y +2q )=-1 =>
y +2q0=p; q0=(p -y )/2, где
f''(z0)=2keiy.
Перейдем теперь к вычислению первого члена асимптотики
интеграла.
F(l )=
elf(z)j(z)dz= eil v(z0)
elu(z)j(z)dz,
v(x,y)|C=const.
Параметризуем контур
интегрирования С: z=z(t), z0=z(0);
F1(l )=
elU(t)F(t)(dz/dt)dt; F(t)=j(z(t)); U(t)=u(x(t),y(t)),
U(0)>U(t), U'(0)=0;
Выполнены все условия
применимости формулы Лапласа.
F1(l )=
; U(0)=u(x0,y0); F
(0)=j (z0);
Т.к.
V(t)|C=const=> V"(t)|C=0; => U"(0)=
d2/dt2 [f(z(t))]|t=0 =d/dt [f'(z)
dz/dt]|t=0 =
=[f"(z)
(dz/dt)2]|t=0+[f'(z)d2z/dt2]|t=0
=={f'(z0)=0}=f"(z0)[(dz/dt)2]|t=0.
Осталось найти
[(dz/dt)2]|t=0.
z=z0+teiq 0, 2q0=p-y; =>
[(dz/dt)]|t=0=eiq 0;
|(dz/dt)||t=0=1 => [(dz/dt)2]|t=0=
ei2q 0;
а
т.к. f"(z0)=2keiy=>
U"(0)=f"(z0)[(dz/dt)2]|t=0=
2keiyei2q
0=2kei(y +2q
0)=2keip= -2k=
-|f"(z0)|. =>
=> F(l )=
, где q0=(p -y )/2, y=arg
f"(z0).
Итак, окончательно при
l>>1 и
f'(z0)=0 получим :
F(l )=
, где q0=(p -y )/2, y=arg
f"(z0).
Знак
определяется направлением
интегрирования.