![]() |
a =arg f'(z0)= argD w-
argD z=F 1-j1.
Геометрический смысл arg
f'(z0): Разность угла
F 1
(угол между касательной к кривой G
1 и положительным направлением оси u на
плоскости w) и угла j1 (угол между касательной к кривой g1 и положительным
направлением оси x на плоскости z)
=>
F1=j1+a . Другими словами, аргумент
производной arg f'(z0) в
точке z0 определяет
величину угла, на который нужно повернуть касательную к " гладкой кривой
g , проходящей
через точку z0, чтобы получить
касательную к образу этой кривой в точке w0=f(z0).
Т.к. a =arg
f'(z0) не зависит от выбора g1, то для
" g2 :
z0g 2 : F
2=j2+a
=>
=>F =F
2-F1=j2-j1=j (сохраняется величина и
направление углов).
b) Свойство
сохранения углов.
Определение Отображение окрестности точки
z0 на окрестность точки
w0, обладающее свойствами
сохранения углов и постоянства растяжений называется конформным
отображением в точке z0.
=> бесконечно малая окружность бесконечно малую окружность; бесконечно малый
треугольник
бесконечно малый
треугольник.
2. Основное определение
конформного отображения g<=> D. Необходимое и достаточное условие
конформности отображения области g на область D.
Основное
определение. Непрерывное взаимно однозначное отображение области g
комплексной плоскости z на область D комплексной плоскости w, при котором в
" zО g выполняются свойства сохранения углов и постоянства
растяжений, называется конформным отображением g на D.
Обозначение: gD.
Очевидно, что
при этом D конформно отображается на g.
Теорема 20.1Если f(z)C
(g), однозначная и однолистная, и
f'(z)
0, " z
g, то f(z) осуществляет конформное отображение g
D.
Доказательство. Отображение, осуществляемое
указанной f(z) обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений
(как было показано выше). n
Теорема
20.2(обратная) Если f(z) осуществляет конформное отображение gD, то f(z)
C
(g), однолистна, и f'(z)
0, " z
g.
Доказательство. Т.к. gD, то f(z)- непрерывна, однозначна и однолистна.
Т.к. имеет место постоянство растяжений, то $|D w|/|D
z|=k>0.
Т.к. имеет место сохранение
углов, то $arg(D w/D z)=a
-действительное =>
$D w/D
z=keia
0 n .
Замечание. Свойство f'(z)0, " z
g является следствием
однолистности.
Теорема 20.3.Необходимым и достаточным
условием конформности отображения является f(z)C
(g), однозначна и однолистна в g.
Доказательство. Необходимость доказана выше (Теорема 20.2).
Достаточность. См. "А.Г.Свешников,
А.Н.Тихонов Теория функций комплексной переменной." М.: Наука-Физматлит
1999, с.156.
3. Основные принципы конформных
отображений.
Принцип соответствия
границ. Если f(z)C
(
),
g-односвязна и f(x
) взаимно однозначно отображает
на замкнутый контур G =
D плоскости w с сохранением обхода, то g
D.
Доказательство. Надо доказать, что f(z)
однолистна в g, т.е.
а) для " w1D $ !
z1
g :
w1=f(z1);
б) для " w2D не
$ ни одной
z2
g:
f(z2)=w2.
Рассмотрим две произвольные точки w1D и
w2
D и построим в g вспомогательные функции
F1(z)=f(z)-w1, F2(z)=f(z)-w2
,z
g. Подсчитаем число нулей этих функций (по принципу аргумента ):
N[F1(z)]=(1/2p
)Var[arg(f-w1)]|=1, N[F2(z)]=(1/2p
)Var[arg(f-w2)]|
=0 (т.к. по условию теоремы положительному
обходу
соответствует положительный обход
D) . n
Замечание. Если f(z)C
(
\z0), z0- полюс
первого порядка и
G с изменением направления
обхода, то f(z): g
E\D.
Теорема Римана. Основной
закон конформных отображений.
Заданы область g комплексной плоскости g и
область D комплексной плоскости w. Требуется найти f(z)=w конформно отображающую
g на D.
Теорема Римана. Если g- односвязная
область комплексной плоскости w, граница которой состоит более чем из одной
точки, то $! f(z)C
(g):
g
|w|<1, так что f(z0)=0 и arg f'(z0)=a , z0
g и a - заданные числа.
Полное доказательство приводить не будем. (см.
например А.В.Бицадзе "Основы теории аналитических функций").
Ограничимся замечаниями.
1. Пусть g комплексной плоскости z и G
комплексной плоскости w удовлетворяют условиям теоремы
Римана . Тогда
$x =f(z): g|x |<1;
f(z0)=x 0 и $ w=j (x ):
|x |<1
D, j (x
0)= w0 => $ w=F(z)= j (f(z)); g
D;
F(z0)=w0 .
2. Односвязность существенна!.
3. Условия теоремы Римана
можно заменить установлением соответствия 3-х точек трем точкам
D.
4.
Основные функции, используемые при конформных отображениях.
a) Степенная
w=f(z)=zn, область однолистности
0<arg z<2p/n.
b) w=f(z)=1/z область однолистности-
вся комплексная плоскость. zw
c) w=f(z)=ez область однолистности -p
<Im z<p .
d)
Дробно-линейная функция.
w=f(z)=(az+b)/(cz+d)=l (z+a )/(z+b ) (3 параметра, a№b ).
z=l '(w+a ')/(w+b '); zw,
f'(z)
0
для " z.
1. Геометрический смысл:
f(z)=l [1+(a -b )/(z+b )] - повороты и растяжения, отражение от действительной
оси, инверсия.
2.
Заданием соответствия 3-м точкам z1w1, z2
w2, z3
w3,
плоскости z трех точек плоскости w, дробно-линейная функция определена
однозначно, т.е. коэффициенты l , a , b
однозначно выражаются через 6 заданных комплексных чисел.
Доказательство. w1=l (z1+a
)/(z1+b ); w2=l (z2+a
)/(z2+b ); w3=l (z3+a
)/(z3+b );
=>w1-w2=l
(z2-z1)(a -b )/(z1+b
)(z2+b ) ; w1-w3=l (z3-z1)(a
-b )/(z1+b
)(z3+b ) ;
(w1-w2)/(w1-w3)=(z1-z2)(z3+b )/(z1-z3)(z2+b );
(w-w2)/(w-w3)=(z-z2)(z3+b )/(z-z3)(z2+b );
(w-w2)/(w-w3):
(w1-w2)/(w1-w3)= (z-z2)/
(z-z3): (z1-z2)/
(z1-z3).
Разрешив это выражение получим w=f(z) - дробно-линейную
функцию с однозначно определенными коэффициентами l , a , b .
n
3. Свойства дробно-линейной
функции.
a) Круговое:
A(x2+y2)+Bx+Cy+D=0; z=x+iy=1/z =1/(x +ih
)=x /(x2+h2)-ih /(x2+h2)=>
=>A+Bx -Ch +D(x2+h2)=0. Окружность на плоскости однозначно определяется
заданием 3-х точек.=> Задав ziwi,
i=1,2,3 с сохранением направления обхода однозначно определим дробно-линейную
функцию, конформно отображающую g
D.
Пример.
|z|<1Imz>0. так, чтобы
z=1
w=0; z=i
w=1; z=-1
w=
;
Возьмем
w=l (z-1)/(z+1); 1=l
(i-1)/(i+1)=> l =(i+1)/(i-1)=
(i+1)(1+i)/(i-1)(1+i)=-(1+i)2/2=
=-(1+2i-1)/2=-i; =>
w=i(1-z)/(1+z).
b)
Сохранение сопряженности точек.
Пример. Imz>0|w|<1; z0
w0=0; => w=l (z-z0)/(z- z0*);
e)
Функция Жуковского.
w=f(z)=(1/2)(z+1/z)-однозначная аналитическая функция в кольце
0<|z|< ;
Два полюса 1-го порядка: z=0 и z= .
Области однолистности: z1z2 и
z1+1/z1= z2+1/z2
=>(z1-z2)=(z1-z2)/z1z2
=> z1z2=1 =>
Области однолистности |z|<1 и
|z|>1.
f'(z)=(1/2)(1-1/z2); f'(z1,2)=0 =>
z1,2=1.
Геометрический смысл отображения.
|z|>1; z=r0eij ;
w=(1/2)(r0eij+(1/r0)e-ij); w=u+iv=(1/2)(r0+1/r0)cosj +i(1/2)(r0-1/r0)sinj ;
u2/[(1/2)(r0+1/r0)]2+v2/[(1/2)(r0-1/r0)]2=1;
a=(1/2)(r0+1/r0); b=(1/2)(r0-1/r0);
c2=a2-b2=1; => c=1;
Окружность
r0eijсемейство софокусных эллипсов. При r0
1 a
1, b
0.
|z|>1w, с разрезом по отрезку [-1;1].
Луч z=reij;
1<r< ; j =j0 .
u=(1/2)(r+1/r)cosj ;
v=(1/2)(r-1/r)sinj ; =>
u2/cos2j -
v2/sin2j=1; - гипербола:
c2=a2+b2=1; => c=1; 0<j
0<p /2-
правая ветвь гиперболы, p /2<j0<p - левая ветвь гиперболы. Полярная система
координат |z|>1 переходит в эллиптическую систему координат на плоскости w, с
разрезом с сохранением направления обхода. На плоскости w с разрезом определена
обратная функция
,
являющаяся аналитическим продолжением действительной функции
, u>1.
Аналогично, область однолистности |z|<1на плоскость w с разрезом по
[-1;1] с изменением направления обхода.
![]() |
Примеры
конформных отображений, осуществляемых некоторыми элементарными
функциями.
5. Связь
аналитической функции комплексной переменной и гармонической функции двух
действительных переменных.
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)C
(g). =>ux=vy;
uy=-vx;
=> D u=0; D v=0; -гармонические функции
(x,y)g.
Обратно, пара гармонических в g функций u(x,y) и v(x,y),
связанные условиями Коши- Римана, являются действительной и мнимой частью
аналитической функции.
6. Сохранение оператора Лапласа при конформном
отображении.
Пусть (x,y)g и f(z)=z
: g
D; z
=x (x,y)+ih (x,y)
C
(g); (x ,h )
D; f'(z)
0.
D
xyu=?
uxx=uxxxx2+2uxhxxh
x+uh hhx2+uxxxx+uhhxx
uyy=uxxxy2+2uxhxyh
y+uhh hy2+uxxyy+uhhyy
D
xyu= uxx(xx2+xy2)+ 2uxh(xxh x+x yh y)+uh h(hx2+hy2)+ux(xxx+xyy)+uh (hxx+hyy)=
={x x=hy, xy=-hx,=> f'(z)=xx+ihx=xx-ixy=hy+ihx=>|f'(z)|2=xx2+xy2=hx2+hy2;
xxh x+x yh y=x xx+xyy
=(h xx+hyy)=0}=|f'(z)|2Dxhu(x ,h )={z=j (z
)}=[1/|j '(z )|2]
Dxhu(x ,h )
7. Применение конформных
отображений
в задачах электростатики.
{rot=0; div
=4pr ;
=-С u =>D
u=-4pr .
Задача Робэна- распределение заряда на
проводящей границе.
![]() |
q=![]() Задача Робэна: D u=0 вне С;. u|C=const; ![]() |
Пример. Двусторонний отрезок
[-1;1] на плоскости z . z =f(z): C|z |=1- функция,
![]() |
обратная к
функции Жуковского z =f(z)= ![]() |
Назад | Вверх | Вперед |